微分方程式を考える

2016.05.09 Monday
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    JUGEMテーマ:学問・学校
    政治の話題が多いので、数学で休憩しましょう。
    これは、部分を知って全体を悟るという哲学でもあります。
    という意味では、数列のような離算数の差分方程式との対照をなすわけです。
    どういう現象の分析に使われるかというと、
    .縫紂璽肇鵑留親以程式
    ▲泪襯汽垢凌邑法則
    J射性物質崩壊時間
    ぅ丱テリアの増殖観察
    ゥ蹈献奪好謄ク曲線
    ξ箋僂遼‖Р鮴
    ➆雨のターミナル・ベロシティ
    ┘灰鵐妊鵐気両態把握
    ばねの運動方程式
    拡散方程式
    などです。
    わくわくしますね。
    数学へのプロムナード|-|-|-|-|by ネコスキイ

    円内接n角形問題について

    2014.12.22 Monday
    0
      JUGEMテーマ:学問・学校

       
      一般的に円内接多角形問題とは,
      「円に内接するn 角形の各辺の長さa, b, . . . , an が与えられたとき,その多角形の面積および外接円の半径をa, b, . . . , an の式で表せ」
      という古典的な幾何学の問題であり、n=4までは、現在の教育課程では高校1年生の習う「数学機廚痢嵌展」として掲載されている。そのなかでは、図形の性質として、内接3角形(n=3)、内接4角形(n=4)の面積を求めるため、三角関数の一応用と限定されている(内接4角形は凸の場合のみ)。


       では,「n ≧ 5 のときの面積と半径はどういう表現になるか」ということを、考えてしまうのは人間の自然な思考であると思う。

       

      1.ヘロンの公式(n=3の場合)
       
       古くから知られている結果として,三角形(n = 3) の場合にはヘロン の公式(1 世紀に発見!!!) とよばれ,外接円の半径rと三角形の面積S がそれぞれ,

       r =abc/√(a + b + c)(−a + b + c)(a − b + c)(a + b − c)                 (1)
       S =1/4√(a + b + c)(−a + b + c)(a − b + c)(a + b − c)                  (2)
       と表されるので,両者を結びつけて根号部分を消去すると


       4Sr = abc (これは、正弦定理からも明らかである)                         (3)

      が得られる.

       


      2.ブラーマグプタの公式(n=4の場合)

       四角形(n=4) に対する結果は、プラーマグプタの公式(7 世紀に発見!!!!) とよばれ,半径および面積が
       
       ‘未両豺
       r =√(ab + cd)(ac + bd)(ad + bc)/
          (−a + b + c + d)(a − b + c + d)(a + b − c + d)(a + b + c − d)        (4)
       S =√(−a + b + c + d)(a − b + c + d)(a + b − c + d)(a + b + c − d)/4      (5)
      と表されるので,両者を結びつけて根号のない形で表すと

       16S^2r^2 = (ab + cd)(ac + bd)(ad + bc)                                                    (6)

       凸でない場合
       r =√−(ab − cd)(ac − bd)(ad − bc)/
          (a + b + c + d)(a + b − c − d)(a − b − c + d)(−a + b − c + d)        (7)
        S =√(a + b + c + d)(a + b − c − d)(a − b − c + d)(−a + b−c+d)/4               (8)
      と表わされるので,両者を結びつけた根号のない形にすると、

       16S^2r^2 = −(ab − cd)(ac − bd)(ad − bc)                                                  (9)

      となる。
       

      3.半径と面積の関係


      以上のことから,半径公式と面積公式の関係をひとつの式で表すには,k = 16S^2r^2 (S:多角形の面積r:外接円の半径) とおくと、n = 3, n = 4 のそれぞれに対して,

       k − a^2b^2c^2= 0                                   (10)
       (k − (ab + cd)(ac + bd)(ad + bc))× (k + (ab − cd)(ac − bd)(ad − bc)) = 0    (11)

        ((11)は、凸または凸でないことを因数分解的に表現したもの)

      と表されることがわかる。

       

      4.5角形(凸でないものをふくむと5辺形という)に拡張する

       円内接五角形を3つの三角形に分割し,頂点Aから引いた対角線の長さをu, v とする.辺の長さの組はそれぞれ{a, b, u},

      {u, v, e},{c, d, v} となり,これらが共通の外接円をもつため,ヘロンの公式を適用すると,以下の連立代数方程式が得ら

      れる.

        f1 = (a + b − u)(b + u − a)(u + a − b)(a + b + u)r^2 − a^2b^2u^2
        f2 = (u + v − e)(v + e − u)(e + u − v)(u + v + e)r^2 − u^2v^2e^2
        f3 = (c + d − v)(d + v − c)(v + c − d)(c + d + v)r^2 − c^2d^2v^2                            (12)
        ((1)を変型し、左辺をfnと置いたことに注意)
       
        ここで、これらは7変数(5辺+2対角線=7)に対し、3方程式しかないため一般的に簡単には解けない、不定連立方程式になっている。
        しかし、面積公式はそもそも、多角形を内接辺のみで表現することが目的なので、uとvおよびrを排除する公式をつくればよいことになる。
        
          簡単のために、
        a+b+u=2x
          u+v+e=2y
          c+d+v=2z
          とすると、
         
          f1、f2、f3は、
        
          f1=16(x-u)(x-a)(x-b)xr^2 − a^2b^2u^2=0
          f2=16(y-e)(y-u)(y-v)yr^2 − u^2v^2e^2=0
          f3=16(z-v)(z-c)(z-d)zr^2 − c^2d^2v^2=0
        
         よって、ヘロンの公式から、
        内接5角形の面積Sは
        S=√(x-u)(x-a)(x-b)x +√(y-e)(y-u)(y-v)y +√ (z-v)(z-c)(z-d)z

       

      一方、
        正弦定理より、△ABCの面積 S1=deu/4r
                        △AEDの面積 S2=bcv/4r
          を変形すると、
               u=4rS1/de
                        v=4rS2/bc
          となるため、
               △ACDの面積 S3=auv/4r

        したがって、内接5角形の面積Sは、
        
        S=S1+S2+S3=(deu+bcv+auv)/4r   

       

      以上よって、堂々巡りにより、この方法ではuとvおよびrを排除することはできないことがわかる。

       

      5.違う方法によるアプローチ
       ‘眄楡n角形の場合
        一辺p(定数)、正n角形面積S、対角線をx(未知数、一般的には=u=v)とする。
        中心角∠COD=2π/nであるため、円周角の定理により∠CAD=1/2∠COD=π/n
          △ACDが内接するので、正弦定理から
       
        S/n=x^2p/4r  ∴S=nx^2p/4rとなる。    
        
        一辺pのみの表現とするために、余弦定理から
        1)△ACDについて
            p^2=x^2+x^2-2x^2cos∠CAD   p^2=2x^2(1-cosπ/n)  ∴x^2=p^2/2(1-cosπ/n)
        
        2)△CODについて
         p^2=r^2+r^2-2r^2cos∠COD     p^2=2r^2(1-cos2π/n)  ∴r  =p/√2(1-cos2π/n)
         
        1)、2)から
        
        S={np^2/2(1-cosπ/n)}×p / {4p/√2(1-cos2π/n)}
         =np^2√{2(1-cos2π/n)}/ 8(1-cosπ/n)
         =np^2√2(sinπ/n) / 8(1-cosπ/n)

          これで、正n角形の面積は、1辺pのみで表現できる。

       


       内接一般凸角形の場合
        辺の長さだけでは面積を表現できない。
        どうしても、円周上の隣り合う頂点を囲う弧に対する中心角が必要になる。

      数学へのプロムナード|-|-|-|-|by ネコスキイ

      アンリ・ポアンカレ

      2009.03.10 Tuesday
      0
          うーん( ̄〜 ̄;)。と言っても、誰って感じですね。グレゴリ・ペレリマンは、ポアンカレ予想を解き、フィールズ賞に輝きました。が、彼は失踪し受賞拒否しました!ノーベル賞より難しい数学のノーベル賞ですから、何があったのでしょう。日本では広中平祐氏など3人が受賞しています。
          ところで、ポアンカレはトポロジーという位相幾何学を創始しました。それまでは微分幾何学 と言って、図形を微分で精緻な理論にすることで成果をあげてきました。数学の王様でした。それとは別の様式で空間を把握しようというのが位相幾何学です。簡単には、すべての空間は球とドーナツ、そしてドーナツの連鎖でできているととらえるのです。その延長線上に、宇宙に紐を通して輪を作り引っ張って引っ掛かりがないなら宇宙は、丸い(球体と同様の空間)と言えるというのが、ポアンカレ予想です。ドーナツ形状なら引っかかりますからね。この考えは、宇宙について考えだした人類の数学となりました。
          このポアンカレを尊敬していたのは、かのアインシュタインです。ただ、彼は、空間については非ユークリッド幾何学に行きました。これが、一般相対性理論に結実します。ポアンカレは、もっと大きい宇宙を想定しているように思います。
          ポアンカレについてレーニンは批判的ではありましたが、一定の評価を与えています。この点の分析は今後、考えてみたいと思います。もとに戻って、ロシアのペレリマンは、ソ連崩壊にともなってアメリカで研究しましたが、トポロジーではなく、微分幾何学を専門としましたが、独自でポアンカレ予想を証明しました!それもトポロジーでなく、微分幾何学と物理学で証明したのです。こういうことと、ソ連の崩壊やレーニンの言及が関わっていることは、社会進歩を願う私には大変身近に感じる出来事なんです。
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