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円内接n角形問題について

2014.12.22 Monday
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    JUGEMテーマ:学問・学校

     
    一般的に円内接多角形問題とは,
    「円に内接するn 角形の各辺の長さa, b, . . . , an が与えられたとき,その多角形の面積および外接円の半径をa, b, . . . , an の式で表せ」
    という古典的な幾何学の問題であり、n=4までは、現在の教育課程では高校1年生の習う「数学機廚痢嵌展」として掲載されている。そのなかでは、図形の性質として、内接3角形(n=3)、内接4角形(n=4)の面積を求めるため、三角関数の一応用と限定されている(内接4角形は凸の場合のみ)。


     では,「n ≧ 5 のときの面積と半径はどういう表現になるか」ということを、考えてしまうのは人間の自然な思考であると思う。

     

    1.ヘロンの公式(n=3の場合)
     
     古くから知られている結果として,三角形(n = 3) の場合にはヘロン の公式(1 世紀に発見!!!) とよばれ,外接円の半径rと三角形の面積S がそれぞれ,

     r =abc/√(a + b + c)(−a + b + c)(a − b + c)(a + b − c)                 (1)
     S =1/4√(a + b + c)(−a + b + c)(a − b + c)(a + b − c)                  (2)
     と表されるので,両者を結びつけて根号部分を消去すると


     4Sr = abc (これは、正弦定理からも明らかである)                         (3)

    が得られる.

     


    2.ブラーマグプタの公式(n=4の場合)

     四角形(n=4) に対する結果は、プラーマグプタの公式(7 世紀に発見!!!!) とよばれ,半径および面積が
     
     ‘未両豺
     r =√(ab + cd)(ac + bd)(ad + bc)/
        (−a + b + c + d)(a − b + c + d)(a + b − c + d)(a + b + c − d)        (4)
     S =√(−a + b + c + d)(a − b + c + d)(a + b − c + d)(a + b + c − d)/4      (5)
    と表されるので,両者を結びつけて根号のない形で表すと

     16S^2r^2 = (ab + cd)(ac + bd)(ad + bc)                                                    (6)

     凸でない場合
     r =√−(ab − cd)(ac − bd)(ad − bc)/
        (a + b + c + d)(a + b − c − d)(a − b − c + d)(−a + b − c + d)        (7)
      S =√(a + b + c + d)(a + b − c − d)(a − b − c + d)(−a + b−c+d)/4               (8)
    と表わされるので,両者を結びつけた根号のない形にすると、

     16S^2r^2 = −(ab − cd)(ac − bd)(ad − bc)                                                  (9)

    となる。
     

    3.半径と面積の関係


    以上のことから,半径公式と面積公式の関係をひとつの式で表すには,k = 16S^2r^2 (S:多角形の面積r:外接円の半径) とおくと、n = 3, n = 4 のそれぞれに対して,

     k − a^2b^2c^2= 0                                   (10)
     (k − (ab + cd)(ac + bd)(ad + bc))× (k + (ab − cd)(ac − bd)(ad − bc)) = 0    (11)

      ((11)は、凸または凸でないことを因数分解的に表現したもの)

    と表されることがわかる。

     

    4.5角形(凸でないものをふくむと5辺形という)に拡張する

     円内接五角形を3つの三角形に分割し,頂点Aから引いた対角線の長さをu, v とする.辺の長さの組はそれぞれ{a, b, u},

    {u, v, e},{c, d, v} となり,これらが共通の外接円をもつため,ヘロンの公式を適用すると,以下の連立代数方程式が得ら

    れる.

      f1 = (a + b − u)(b + u − a)(u + a − b)(a + b + u)r^2 − a^2b^2u^2
      f2 = (u + v − e)(v + e − u)(e + u − v)(u + v + e)r^2 − u^2v^2e^2
      f3 = (c + d − v)(d + v − c)(v + c − d)(c + d + v)r^2 − c^2d^2v^2                            (12)
      ((1)を変型し、左辺をfnと置いたことに注意)
     
      ここで、これらは7変数(5辺+2対角線=7)に対し、3方程式しかないため一般的に簡単には解けない、不定連立方程式になっている。
      しかし、面積公式はそもそも、多角形を内接辺のみで表現することが目的なので、uとvおよびrを排除する公式をつくればよいことになる。
      
        簡単のために、
      a+b+u=2x
        u+v+e=2y
        c+d+v=2z
        とすると、
       
        f1、f2、f3は、
      
        f1=16(x-u)(x-a)(x-b)xr^2 − a^2b^2u^2=0
        f2=16(y-e)(y-u)(y-v)yr^2 − u^2v^2e^2=0
        f3=16(z-v)(z-c)(z-d)zr^2 − c^2d^2v^2=0
      
       よって、ヘロンの公式から、
      内接5角形の面積Sは
      S=√(x-u)(x-a)(x-b)x +√(y-e)(y-u)(y-v)y +√ (z-v)(z-c)(z-d)z

     

    一方、
      正弦定理より、△ABCの面積 S1=deu/4r
                      △AEDの面積 S2=bcv/4r
        を変形すると、
             u=4rS1/de
                      v=4rS2/bc
        となるため、
             △ACDの面積 S3=auv/4r

      したがって、内接5角形の面積Sは、
      
      S=S1+S2+S3=(deu+bcv+auv)/4r   

     

    以上よって、堂々巡りにより、この方法ではuとvおよびrを排除することはできないことがわかる。

     

    5.違う方法によるアプローチ
     ‘眄楡n角形の場合
      一辺p(定数)、正n角形面積S、対角線をx(未知数、一般的には=u=v)とする。
      中心角∠COD=2π/nであるため、円周角の定理により∠CAD=1/2∠COD=π/n
        △ACDが内接するので、正弦定理から
     
      S/n=x^2p/4r  ∴S=nx^2p/4rとなる。    
      
      一辺pのみの表現とするために、余弦定理から
      1)△ACDについて
          p^2=x^2+x^2-2x^2cos∠CAD   p^2=2x^2(1-cosπ/n)  ∴x^2=p^2/2(1-cosπ/n)
      
      2)△CODについて
       p^2=r^2+r^2-2r^2cos∠COD     p^2=2r^2(1-cos2π/n)  ∴r  =p/√2(1-cos2π/n)
       
      1)、2)から
      
      S={np^2/2(1-cosπ/n)}×p / {4p/√2(1-cos2π/n)}
       =np^2√{2(1-cos2π/n)}/ 8(1-cosπ/n)
       =np^2√2(sinπ/n) / 8(1-cosπ/n)

        これで、正n角形の面積は、1辺pのみで表現できる。

     


     内接一般凸角形の場合
      辺の長さだけでは面積を表現できない。
      どうしても、円周上の隣り合う頂点を囲う弧に対する中心角が必要になる。

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